Знаете ли вы признаки делимости на число…?

Математики прошлых веков придумали множество удобных уловок, чтобы облегчить расчеты и вычисления, которыми изобилует решение математических задач. Вполне разумный выход из положения, ведь у них не было ни калькуляторов, ни компьютеров. Казалось бы, теперь все эти полезные приемы никому не нужны, ведь у каждого школьника всегда под рукой сотовый телефон со встроенным калькулятором, но, в некоторых ситуациях, умение пользоваться удобными способами вычисления значительно облегчает решение задач и существенно сокращает затраченное на них время. 

К подобным полезным приемам вычисления, несомненно, относятся признаки делимости на число. Какие-то из них более легкие - эти признаки делимости проходятся в рамках школьного курса, а некоторые - достаточно сложные и представляют скорее исследовательский интерес, чем практический. Впрочем, проверить каждый из признаков делимости на конкретных числах всегда интересно.
Итак, самый простой и часто применяемый из них - признак делимости на 2. Проверка, делится ли число на 2, не требует никаких вычислений: либо оно четное, т.е. оканчивается на 2, 4, 6, 8 или 0 и делится на 2, либо нечетное, т.е. оканчивается на 1, 3, 5, 7, 9 и не делится на 2.
Если же решение задач по алгебре требует установить делимость числа на 3, то придется выполнить простейшие вычисления, а именно сложить все цифры числа и, если полученный результат делится на 3, то и все число делится на 3. Например, число 528 на 3 делится, так как 5 + 2 + 8 = 15, а 15 на 3 делится без остатка.
Следующий признак – деление на 4. Здесь стоит обратить внимание на последние две цифры – если образуемое ими число делится на 4, то и все число делится на 4. Кроме того, все числа, оканчивающиеся двумя нулями, так же делятся на 4.
Правило делимости на 5 так же просто, как и делимость на 2, необходимо посмотреть на последнюю цифру этого числа. Если она равна 5 или 0, то будьте уверены - это число разделится на 5 без всяких проблем.
Уже более интересно определять делимость на 6. В этом случае сначала стоит установить четность числа, так как нечетные числа на 6 вообще не делятся, а затем проверить его на делимость на 3, что, впрочем, тоже достаточно просто. Кстати, упомянутое уже число 528, делится на 3 и, поскольку оно четное - на 6.

А вот с делимостью на 7 вы вряд ли познакомитесь в школе. Дело в том, что это достаточно сложный признак. Во-первых, надо разбить его на части по три цифры, начиная с правой стороны. Например, если наше число 1649837, то это будет выглядеть так: 1.649.837. Потом сложить все части, находящиеся на нечетных местах от правого края: 837 + 1 = 838. А, затем отнять сумму всех четных частей, в нашем случае это выглядит так 838 – 649 = 189. так вот, если 189 делится на 7, а оно делится, то и все число 1649837 будет делиться на 7. Понятно, что признак делимости на 7 в современных условиях не имеет большого практического значения, но зато всегда можно блеснуть своей эрудицией!
Признак делимости на 8 очень похож на признак делимости на 4, но здесь нужно обратить внимание уже на 3 последние цифры. Если они нули или делятся на 8, то и все число тоже будет делиться на 8. Этот признак тоже достаточно неудобен для практического применения.
А вот признаком делимости на 9 пользуются достаточно часто, и знать его нужно обязательно. Так же как и при проверке делимости на 3, необходимо сложить все цифры, и если полученное число делится на 9, то и исходное число тоже делится на 9. 
И, конечно же, всем известен признак делимости на 10. Просто в конце должен стоять ноль!