По убеждениям персонажей известного фильма «Обитаемый остров» их мир представлял собой сферу, причем жили они внутри этой сферы. Неправда ли, интересная система устройства жизни? Конечно, все это фантастика, и еще не известно, возможно ли существование такого мира, но совершено точно доказано, что наша планета – это тоже сфера и живем мы на ее внешней поверхности. Причем это, казалось бы, элементарное знание, в свое время было просто революционной идеей.
Впрочем, традиционная геометрия, созданная еще 2000 лет назад великим ученым Евклидом, основывает все свои вычисления на плоскости (планиметрия). Действительно, все аксиомы и теоремы евклидовой геометрии доказывают и описывают свойства плоскостных объектов: прямой, отрезка, плоскости и всевозможных геометрических фигур. Но останутся ли все эти свойства верны, если применять их в масштабах нашей планеты? Или в соответствии с ее сферической формой необходимо вносить какие-то коррективы во все расчеты?
Над этими вопросами стали задумываться не только ученые, астрономы и географы, но и представители многих сообществ и профессий. Ведь решение задач по геометрии необходимо в самых различных практических ситуациях, например, для мореплавателей любая неточность и погрешность может обернуться катастрофой, да и для астрономов проблема расчетов в пространстве достаточно актуальна. Все это создало предпосылки для развития так называемой сферической геометрии, изучающей и описывающей объекты, находящиеся на сфере.
Огромный вклад в развитие сферической геометрии внес Менелай, живший в Александрии в первом веке нашей эры. В своем научном труде «Сферика» он ввел, так называемые, сферические треугольники. Постулаты и формулы по математике, созданные Евклидом и его последователями для плоскостных фигур, для сферических треугольников уже не работали! В частности, три точки, лежащие на сторонах треугольника или их продолжениях лежат на одной прямой и т.п.
Со временем сферическая геометрия активно развивалась параллельно евклидовой геометрии. Были разработаны основные положения этой науки. Например:
• Всякая плоскость, пересекающая сферу, дает в сечении окружность.
• Через любые две точки на сфере, кроме диаметрально противоположных, можно провести единственный большой круг.
• Через диаметрально противоположные точки проходит бесконечное количество больших кругов.
• Вводится понятие геодезической линии – меньшей дуги большого круга, соединяющей две точки на сфере.
• В сферической геометрии не существует понятия параллельности, так как две сферические прямые пересекаются в двух диаметрально противоположных точках.
• Сферическая прямая всегда замкнута. Это значит, что, двигаясь по сферической прямой, мы рано или поздно придем в точку отправления.
• Сферический треугольник может иметь все три прямых угла.
Даже просто читать эти утверждения и то очень интересно, а тут перечислены далеко не все особенности сферической геометрии! Казалось бы, изменили только форму поверхности, а на самом деле изменилось буквально все, даже тригонометрические формулы приобрели совершенно новый смысл. Вот уж действительно, для того, чтобы жить в фантастическим мире можно даже не путешествовать по другим планетам, достаточно просто внимательно присмотреться к своей.
