С определенного момента успевать в школе по математике без умения решать квадратные уравнения становится практически невозможно. Все задачи по математике, которые встречаются на этом этапе школьного курса, необходимо решать алгебраическим способом, т.е. при помощи уравнений, и каждое такое уравнение как назло обязательно оказывается квадратным. Да и контрольные по математике не отстают, задания в них превращаются в вариации на тему квадратных уравнений: решить несколько задач разного типа, естественно при помощи квадратных уравнений, начертить график квадратичной функции и, конечно же, решить несколько квадратных уравнений. Неужели нельзя обойтись без дискриминанта? И кто их только придумал? Ответим сразу, не ваши учителя.
Квадратные уравнения известны еще со времен Древнего Египта! Вавилоняне были знакомы с неполными квадратными уравнениями, в Древней Греции использовали метод геометрических построений, который и позволял решать подобные уравнения. Большой вклад в эту тему внес индийский ученый Брахмагупта, живший в VII в. Но привычные нам способы решения квадратных уравнений придумали в XVI веке немецкий математик М. Штифель и французский Ф. Виет, а потом развили и дополнили в XVII веке такие ученые, как Жирар, Декарт и Ньютон. В результате, существует три основных способа решения квадратных уравнений – по формуле корней квадратного уравнения с нахождением дискриминанта, по теореме Виета, посредством разложения квадратного трехчлена на множители или методом выделения полного квадрата.
Метод, основанный на теореме Виета, используют для приведенных квадратных уравнений, т.е. уравнений вида, где первый коэффициент равен единице. Суть этого метода сводиться к решению системы уравнений: . Решение уравнений этим способом удобно, если можно легко, например методом подбора, решить выведенную Виетом систему. Например, дано уравнение: , ему равноценно приведенное уравнение: (каждый коэффициент данного в условии уравнения мы разделили на 4). Значит, согласно теореме Виета, верна система уравнений: . Его нетрудно решить методом подбора: = 1, = - 4. Но, к сожалению, не для всех квадратных уравнений решение очевидно.
Существует и еще один метод, не требующий вычисления дискриминанта – метод выделения полного квадрата. В этом случае квадратное уравнение решается на основе формул сокращенного умножения, в частности формулы разности квадратов. Например, дано то же уравнение: . Применяя формулы сокращенного умножения, приведем его к виду «разность квадратов».
В результате получаем те же корни, что и при решении методом теоремы Виета: = 1, = - 4. И опять такой способ применим не всегда.
Поэтому все же в большинстве случаев наиболее рациональным становится решение по формуле квадратных уравнений с поиском дискриминанта.
, где первый коэффициент равен единице. Суть этого метода сводиться к решению системы уравнений:
. 
, ему равноценно приведенное уравнение:
(каждый коэффициент данного в условии уравнения мы разделили на 4). Значит, согласно теореме Виета, верна система уравнений:
. Его нетрудно решить методом подбора: = 1, = - 4. Но, к сожалению, не для всех квадратных уравнений решение очевидно. 
. Применяя формулы сокращенного умножения, приведем его к виду «разность квадратов». 
