В курсе математики, особенно в старших классах, достаточно часто случаются ситуации, когда необходимо выучить целый ряд формул. Причем, некоторые математические операторы достаточно сложны для восприятия, поэтому и запоминать их совсем не хочется. К такому типу относятся тригонометрические формулы, формулы производной и, конечно же,формулы сокращенного умножения.
Осложняет дело и то, что запоминать формулы перечисленных типов приходится сразу большой группой, а в случае с формулами сокращенного умножения есть и психологический фактор – это первая большая группа сложных формул, необходимых для запоминания. Как же помочь школьникам справиться с этой задачей?
Для начала, стоит разделить все формулы сокращенного умножения на две группы: формулы, которые ребенок может вывести самостоятельно, и формулы, которые в любом случае придется запоминать, так как выводятся они с использованием методов высшей математики. Этим действием мы сокращаем нагрузку на детей практически в два раза.
Итак, к формулам, которые каждый ребенок может вывести самостоятельно, относятся:
• Формула квадрата суммы
• Формула квадрата разности
• Формула куба суммы
• Формула куба разности
Все эти формулы можно легко вывести путем перемножения записанных в скобках выражений, что ничем не отличается от обычных школьных заданий:
• (a + b)² = (a + b)•(a + b) = a² + a•b + a•b + b² = a² + 2ab + b²
• (a - b)² = (a - b)•(a - b) = a² - a•b - a•b + b² = a² - 2ab + b²
• (a + b)³ = (a +b)•(a + b)²= (a + b)•( a² + 2ab + b²) = a³ + 2a²b + ab² + a²b + 2ab² + b³ =
= a³ + 3a²b + 3ab² + b³
• (a - b)³ = (a -b)•(a - b)²= (a -b)•( a² - 2ab + b²) = a³ - 2a²b + ab² - a²b + 2ab² - b³ =
= a³ - 3a²b + 3ab² - b³
То есть, если ученик по какой либо причине забыл эти формулы, например, во время контрольной работы, то он всегда может при помощи несложных действий вывести эти формулы самостоятельно. Кстати, использовав этот способ несколько раз, любой школьник обязательно запомнит эти формулы сокращенного умножения.
Сложнее дело обстоит с другой группой формул:
• Формула разности квадратов
• Формула разности кубов
• Формула суммы кубов
Дело в том, что вывод этих формул основан на знании формулы Бинома Ньютона, а это уже высшая математика, доступная далеко не всем. Конечно, ученикам можно предложить рассмотреть эту формулу, чтобы они могли увидеть и понять закономерность, но, в любом случае заучивать наизусть их придется. Впрочем, зная закономерность, любое заучивание дается легче.
Итак, Бином Ньютона (частный случай): . Закономерность очевидна, степень а постепенно снижается, а степень, b, так же постепенно повышается. Оставшиеся же три обязательных к заучиванию формулы сокращенного умножения выглядят так:
• a³- b³ = (a – b)(a² + ab + b²)
• a³+ b³ = (a + b)(a² - ab + b²)
• a²- b² = (a – b)(a +b)
Ну а, как известно, «повторение – мать учения» и именно решение нескольких однотипных задач на одну конкретную формулу, дает ее твердое запоминание.
. Закономерность очевидна, степень а постепенно снижается, а степень, b, так же постепенно повышается. Оставшиеся же три обязательных к заучиванию формулы сокращенного умножения выглядят так:
